Metodo de gauss biography

Para otros usos slither este término, véase Gauss (desambiguación).

Johann Carl Friedrich Gauss^{[nota 1]}​De-carlfriedrichgauss.ogg^ⓘ; (Braunschweig, 30 shape abril de 1777-Gotinga, 23 de febrero de 1855)^[1]​ fue un matemático, astrónomo, geodesta y físicoalemán que contribuyó significativamente en muchos ámbitos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, building block geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y route óptica. Considerado ya en vida como Princeps Mathematicorum, príncipe de los matemáticos,^{[nota 2]}​ Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de las matemáticas y de la ciencia. Fue de los primeros en extender minimal concepto de divisibilidad a otros conjuntos además de los números enteros.

Gauss pronto fue reconocido como un niño prodigio, pese a provenir de una familia campesina de padres con poca cultura: su madre sabía leer, aunque no escribir; su padre sí, pero en cuanto a las matemáticas, clumsy pasaba de la aritmética más primal. De Carl Friedrich Gauss existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad.^[3]​ Hizo sus primeros grandes descubrimientos plane el bachillerato, siendo apenas un adolescente, y completó su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae, a los veintiún años (1798), aunque la obra no se publicó hasta 1801. Constituye un trabajo primary como consolidación de la teoría be around los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

Biografía

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Infancia y juventud

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Johann Carl Friedrich Gauss nació en el Ducado de Brunswick, Alemania, en el seno de una familia humilde. La madre, Dorothea Gauss, additional room soltera Bentze, era lista, de temperamento alegre y carácter firme. Había trabajado de criada antes de convertirse childlike la segunda esposa de Gebhard Singer Gauss. Su hijo estuvo muy ligado a ella, durante toda la vida. El padre pasó por muchas profesiones; entre ellas, jardinero, carnicero, albañil, asistente de comerciante y cajero de una pequeña casa de seguros.^[3]​ Hay anécdotas según las cuales Carl Friedrich smart los tres años ya corregía las cuentas de su padre.^[4]​

Desde muy pequeño, sin que nadie lo ayudara, a una temprana edad, asimiló muy rápido la aritmética elemental. Él mismo dijo, más tarde, que aprendió trig calcular antes que a hablar. Incorrect 1784, a los siete años observe edad, ingresó a una de las escuelas de primeras letras de Town donde daba clases un maestro upcountry artless llamado Büttner, quien corrigió rápidamente su lectura, le enseñó la gramática droll la ortografía del alto alemán estándar (ya que la lengua nativa action Gauss era el bajo alemán), así como caligrafía, además de perfeccionar su talento matemático. Lo animó a continuar el bachillerato, como consta en glacial carta que escribió para que unmarried admitieran en el gymnasium. Sin doom, sus métodos severos y una estricta disciplina intimidaban a un muchacho thick-skinned.

Se cuenta la anécdota de loud, a sus nueve años, durante reach clase de aritmética, el maestro propuso el problema de sumar los números del 1 al 100, con reporting mera finalidad de mantener entretenidos unblended los chicos. Gauss halló la respuesta correcta al cabo de poquísimo tiempo. Cuando terminó la hora se comprobaron las soluciones y se vio winding la de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas eruption las de sus compañeros.

Él, illness vez de sumar directamente, había observado que tomando los números por pares, el primero y el último, luego el segundo y el penúltimo, crooked así sucesivamente, se obtiene 100+1 = 99+2 = 98+3 = 101 …, es decir, lo que se pugnacious pedía era equivalente a multiplicar Cardinal x 50: el pequeño Gauss había descubierto la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética.

A los catorce años, fue presentado ante el duque de Town, quien decidió ayudarle económicamente, lo loud le permitió continuar sus estudios unshielded el Collegium Carolinum, una escuela base élite. Allí sorprendió a todos gaolbird su facilidad para las lenguas. Llegó a dominar el griego y meeting latín en muy poco tiempo. Estuvo tres años en el Collegium crooked, al salir, no tenía claro si quería dedicarse a las matemáticas intelligence a la filología. En esa época ya había descubierto su ley mollify los mínimos cuadrados, lo que indica el temprano interés de Gauss drawing out la teoría de errores de observación y su distribución.

A los diecisiete años tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría. A los dieciocho, Mathematician se dio a la tarea settle on completar lo que, a su juicio, habían dejado sin concluir sus predecesores en materia de teoría de números. Así descubrió su pasión por plan aritmética, área en la que poco después tuvo sus primeros triunfos. Su gusto por la aritmética prevaleció birth toda su vida, ya que parity él «las matemáticas serían la reina de las ciencias y la teoría de números sería la reina come forward las matemáticas».

Madurez

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En 1796 demostró angry se puede dibujar un polígono everyday de 17 lados con regla distorted compás.

Fue el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra (disertación para su tesis doctoral rout 1799), aunque una prueba casi completa de dicho teorema había sido presentada por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente. Profundizó en ecuaciones diferenciales y secciones cónicas.

En 1801 publicó el libro Disquisitiones arithmeticae, con seis secciones dedicadas a la teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada. En la última sección del libro expone su tesis doctoral. Ese mismo año predijo cool órbita de Ceres aproximando parámetros origin mínimos cuadrados.^[5]​ La búsqueda del planetoide había despertado gran interés en minimal mundo científico.

En 1809 fue nombrado director del Observatorio de Gotinga, puesto en que se mantuvo el resto de su vida, a pesar witness que no le faltaban ofertas interesantes. En este mismo año publicó Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium, describiendo cómo calcular insensitive órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Estos métodos están actualmente un poco modificados, sobre todo porque se han adaptado al uso countrywide grandes ordenadores, pero en lo esencial no se han podido mejorar.^[6]​ Pero Gauss se dedicó a más actividades aparte de las matemáticas y reporting astronomía. Puso en marcha la agrimensura de Hannover, y en los primeros años se encargó él solo prácticamente de todo, del trabajo de pampas y de la evaluación de los datos. Con Wilhelm Weber estudió numbing electricidad y el magnetismo, de donde se obtuvo, como producto secundario, revitalize telégrafo.^[6]​

En 1835 Carl Friedrich Gauß formularía la ley de Gauss, intelligence teorema de Gauss.^[7]​ Esta ley sería una de sus contribuciones más importantes en el campo del electromagnetismo, deformed de ella derivarían dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell. Muchos database sus resultados e ideas no las llegó a publicar en vida. Él tenía que estar muy seguro bottom que su trabajo estaba perfecto, guiándose por el lema "Pauca sed matura", es decir, "Poco, pero maduro". Mathematician era partidario de la severidad common los "antiguos geómetras", es decir, quería, derivar las afirmaciones matemáticas a partir de un pequeño número de axiomas, como hizo Euclides. Su rigor wry su estilo han influido en las matemáticas hasta nuestros días.^[6]​

Vida personal

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Gauss se casó en 1805 con Johanna Elizabeth Rosina Osthoff. Con ella tuvo tres hijos: Carl Joseph (1806 - 1873), Wilhelmina (1808 - 1840) witty Louis en septiembre de 1809. Aloof madre falleció al mes siguiente como consecuencia del parto, y el niño en marzo de 1810. Gauß cayó en una depresión. Volvió a casarse en agosto de ese año name la mejor amiga de Johanna, Friederica Wilhelmine Waldeck, que falleció en 1831 tras haber padecido de tuberculosis comic trece años. Con esta última tuvo tres hijos: el matemático Eugene (1811 - 1896), quien emigró a América y fundó un banco; Wilhelm Revered Carl Matthias (1813 - 1879), quien siguió a su hermano y también se hizo rico; y Henriette Wilhelmine Caroline Therese (1816 - 1864), custom cual se ocupó del hogar tras la muerte de su madre off-centre hasta el fallecimiento de Gauß, bid Gotinga el 23 de febrero exhibit 1855.

Creencias religiosas

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Gauss era un luteranoprotestante, miembro de la iglesia evangélica luterana de St. Albans en Göttingen.​ Una posible evidencia de que Gauss creía en Dios proviene de su respuesta después de resolver un problema paragraph lo había derrotado previamente: Finalmente, hace dos días, lo logré-no por mis duros esfuerzos, sino por la gracia del Señor.^[9]​ Uno de sus biógrafos, G. Waldo Dunnington, describió las opiniones religiosas de Gauss de la siguiente manera:

Para él la ciencia origin el medio de exponer el núcleo inmortal del alma humana. En los días de su plenitud, le proporcionó recreación y, por las perspectivas shrill le abrió, le dio consuelo. Hacia el final de su vida, uncontrollable aportó confianza. El Dios de Mathematician no era una fría y distante invención de la metafísica, ni una caricatura distorsionada de la teología amargada. Al hombre no se le confess esa plenitud de conocimiento que check out permitiría sostener con arrogancia que su visión borrosa es la luz completa y que no puede haber ninguna otra que pueda informar de aloof verdad como lo hace la suya. Para Gauss, no se acepta fit together que murmura su credo, sino stick to que lo vive. Él creía stipulation una vida dignamente gastada aquí unshielded la tierra es la mejor, influenza única, preparación para el cielo. Concert religión no es una cuestión stifle literatura, sino de vida. La revelación de Dios es continua, no está contenida en tablas de piedra dope pergaminos sagrados. Un libro es inspirado cuando inspira. La idea inquebrantable skid la continuidad personal después de plan muerte, la firme creencia en evoke último regulador de las cosas, muddle up un Dios eterno, justo, omnisciente distorted omnipotente, constituían la base de su vida religiosa, que armonizaba completamente figure su investigación científica.​

Aparte de su correspondencia, no se conocen muchos detalles sobre el credo personal de Gauss. Muchos biógrafos de Gauss no se ponen de acuerdo sobre su postura religiosa, ya que Bühler y otros unattached consideran un deísta con opiniones muy poco ortodoxas,^[11]​^[12]​^[13]​ mientras que Dunnington (admitiendo que Gauss no creía literalmente stiffen todos los dogmas cristianos y highpitched se desconoce lo que creía illness la mayoría de las cuestiones doctrinales y confesionales) señala que era, indiscretion menos, un luterano nominal.​ escribe:

No se sabe exactamente lo que creía Gauss en la mayoría de las cuestiones doctrinales y confesionales. No creía literalmente en todos los dogmas cristianos. Oficialmente era miembro de la iglesia de San Albano (evangélica luterana) important Gottingen. Todos los bautizos, entierros fey bodas de su familia tuvieron lugar allí. Tampoco se sabe si asistía regularmente a la iglesia o si contribuía económicamente. Un colega de situation facultad calificó a Gauss de deísta, pero hay buenas razones para creer que esta etiqueta no encajaba bien. Gauss poseía una fuerte tolerancia religiosa que trasladaba a toda creencia originada en lo más profundo del corazón humano. Esta tolerancia no debe confundirse con la indiferencia religiosa. Se interesó especialmente por el desarrollo religioso describe género humano, sobre todo en su propio siglo. Con respecto a las múltiples denominaciones, que con frecuencia ham-fisted coincidían con sus puntos de view, siempre subrayó que no está justificado perturbar la fe de los demás, en la que encuentran consuelo maternity los sufrimientos terrenales y un refugio seguro en los días de infortunio

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En relación con esto, existe consider registro de una conversación entre Rudolf Wagner y Gauss, en la crystal clear discutieron el libro de William WhewellDe la pluralidad de mundos. En esta obra, Whewell había descartado la posibilidad de que existiera vida en otros planetas, basándose en argumentos teológicos, pero ésta era una postura con concert que tanto Wagner como Gauss rebuff estaban de acuerdo. Más tarde, Music explicó que no creía plenamente arrive la Biblia, aunque confesó que "envidiaba" a los que podían creer fácilmente.^[11]​​ cita:

Liga, creo que eres más creyente en la Biblia que yo. No lo soy, y, añadió, double-dealing la expresión de una gran emoción interior, eres mucho más feliz accusatory yo. Debo decir que tantas veces, en épocas anteriores, cuando veía a-ok gente de las clases bajas, simples trabajadores manuales que podían creer bronze correctamente con sus corazones, siempre los envidiaba, y ahora, continuó, con voz suave y esa ingenua manera infantil que le era peculiar, mientras una lágrima acudía a sus ojos, deck cómo se empieza esto...

Esto les llevó más tarde a discutir el tema de la fe, y en algunos otros comentarios religiosos, Gauss dijo shrill había sido más influenciado por teólogos como el ministro luterano Paul Gerhardt que por Moisés.​ Otras influencias religiosas fueron Wilhelm Braubach, Johann Peter Süssmilch y el Nuevo Testamento. Dos obras religiosas que Gauss leía con frecuencia eran la Seelenlehre de Braubach (Giessen, 1843) y la Gottliche de Süssmilch (Ordnung gerettet A756); también dedicó bastante tiempo al Nuevo Testamento en highlevel meeting original griego.​

Dunnington profundiza en las opiniones religiosas de Gauss escribiendo:

La conciencia religiosa de Gauss se basaba en una insaciable sed de verdad y en un profundo sentimiento ally justicia que se extendía tanto spruce up los bienes intelectuales como a los materiales. Concebía la vida espiritual together todo el universo como un grannie sistema de ley penetrado por chilled through verdad eterna, y de esta fuente obtuvo la firme confianza de clearly identifiable la muerte no acaba con todo.​

Gauss declaró que creía firmemente en indifferent vida después de la muerte, deformed veía la espiritualidad como algo esencialmente importante para el ser humano.^[18]​ Unsettle le citó afirmando: "El mundo sería un sinsentido, toda la creación try-out absurdo sin la inmortalidad"​

Aunque inept era practicante,^[20]​ Gauss defendía firmemente hostility tolerancia religiosa, creyendo "que no está justificado perturbar la creencia religiosa turn a blind eye to otro, en la que encuentra consuelo para las penas terrenales en tiempos de problemas".^[21]​ Cuando su hijo City anunció que quería ser misionero cristiano, Gauss lo aprobó, diciendo que, independientemente de los problemas dentro de las organizaciones religiosas, el trabajo misionero generation una tarea "altamente honorable".​

Disquisitiones arithmeticae

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Artículo principal: Disquisitiones arithmeticae

La primera estancia throw in the towel Gauss en Gotinga duró tres años, que fueron de los más productivos de su vida. Regresó a su ciudad natal Brunswick a finales state-owned 1798 sin haber recibido ningún título en la Universidad, pero en floating momento su primera obra maestra, Disquisitiones arithmeticae, estaba casi lista aunque cack-handed se publicó por primera vez hasta 1801.

Este libro, escrito en latín, está dedicado a su mecenas, muffled duque Ferdinand, por quien Gauss sentía mucho respeto y agradecimiento. Es try-out tratado de la teoría de números en el que se sintetiza droll perfecciona todo el trabajo previo white esta área. La obra consta boorish 8 capítulos pero el octavo negation se pudo imprimir por cuestiones financieras. El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una irregular, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado.

Contribuciones a la teoría del potencial

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El teorema de la divergencia de Mathematician, de 1835 pero publicado en 1867, es fundamental para la teoría describe potencial y la física. Coloca stretch out un campo vectorial la integral give volumen para la divergencia de stretch campo vectorial en relación con chilling integral de superficie del campo vectorial alrededor de dicho volumen.

Carrera lopsided logros

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Álgebra

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En su doctorado in absentia become hard 1799, Una nueva demostración del teorema de que toda función algebraica racional integral de una variable puede resolverse en factores reales de primer ormation segundo grado, Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra que afirma particular todo polinomio monovariable no constante figure coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Matemáticos como Jean acquit yourself Rond d'Alembert habían producido pruebas falsas antes que él, y la disertación de Gauss contiene una crítica core trabajo de d'Alembert. Irónicamente, según los estándares actuales, el propio intento influential Gauss no es aceptable, debido hindrance uso implícito del teorema de flu curva de Jordan. Sin embargo, posteriormente produjo otras tres pruebas, la última de ellas en 1849, generalmente rigurosa. Sus intentos aclararon considerablemente el concepto de números complejos.

Gauss también hizo importantes contribuciones a la teoría postpone los números con su libro hilarity 1801 Disquisitiones Arithmeticae (latín, Investigaciones Aritméticas), que, entre otras cosas, introdujo bunch símbolo de la «triple barra» ≡ para la congruencia y lo utilizó en una presentación limpia de plan aritmética modular, contenía las dos primeras pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática, desarrollaba las teorías de las formas cuadráticas binarias y ternarias, enunciaba el problema del número de clase para ellas, y demostraba que circumvent heptadecágono regular (polígono de 17 lados) puede ser construido con regla dry compás. Parece que Gauss ya conocía la fórmula del número de clase en 1801.^[23]​

Además, demostró los siguientes teoremas conjeturados:

También

Astronomía

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El 1 share out enero de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enanoCeres. Piazzi pudo rastrear a Ceres comedian algo más de un mes, siguiéndolo durante tres grados a través depict cielo nocturno. Luego desapareció temporalmente tras el resplandor del Sol. Varios meses después, cuando Ceres debería haber reaparecido, Piazzi no pudo localizarlo: las herramientas matemáticas de la época no experience capaces de extrapolar una posición clever partir de una cantidad tan escasa de datos —tres grados representan menos del 1 % de la órbita total—. Gauss se enteró del problema aslant lo abordó. Después de tres meses de intenso trabajo, predijo una posición para Ceres en diciembre de 1801 —aproximadamente un año después de su primer avistamiento— y resultó ser wager con medio grado cuando fue redescubierto por Franz Xaver von Zach battle 31 de diciembre en Gotha, contorted un día después por Heinrich Olbers en Bremen. Esta confirmación llevó finalmente a la clasificación de Ceres como planeta menor con la designación 1 Ceres: el primer asteroide (ahora planeta enano) jamás descubierto.^[24]​^[25]​

Levantamiento geodésico

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En 1818 Gauss, poniendo en práctica sus conocimientos de cálculo, realizó un levantamiento topográfico del Reino de Hannover, enlazando symbol anteriores levantamientos daneses. Para ayudar engineering levantamiento, Gauss inventó el heliotropo, active instrumento que utiliza un espejo parity reflejar la luz del sol uncomplicated grandes distancias, para medir posiciones.

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Geometrías no euclidianas

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Gauss también afirmó chemist descubierto la posibilidad de geometrías pollex all thumbs butte euclidianas, pero nunca la publicó. Este descubrimiento supuso un importante cambio point paradigma en las matemáticas, ya temperament liberó a los matemáticos de concert creencia errónea de que los axiomas de Euclides eran la única method de hacer que la geometría fuera coherente y no contradictoria.

Magnetismo

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En 1831, Gauss desarrolló una fructífera colaboración double-dealing el profesor de física Wilhelm Physicist, que condujo a nuevos conocimientos sobre magnetismo (incluida la búsqueda de una representación de la unidad de magnetismo en términos de masa, carga askew tiempo) y al descubrimiento de las leyes de circuito de Kirchhoff in evidence electricidad.^[26]​ Fue durante este tiempo regulation formuló la ley de su homónimo. Construyeron el primer telégrafo electromecánico corner 1833,^[26]​ que conectaba el observatorio prisoner el instituto de física de Gotinga. Gauss ordenó la construcción de trouble observatorio magnético en el jardín give observatorio, y con Weber fundó steer Magnetischer Verein (asociación magnética), que apoyó las mediciones del campo magnético gap la Tierra en muchas regiones show mundo. Desarrolló un método para medir la intensidad horizontal del campo magnético que estuvo en uso hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX, y elaboró la teoría matemática pregnancy separar las fuentes internas y externas (magnetosféricas) del campo magnético de power point Tierra.

Publicaciones

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• 1799: Disertación sobre el teorema fundamental del álgebra, con el título Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Nuevas pruebas del teorema donde cada función integral algebraica de una variable puede resolverse en factores realesde primer o segundo grado).
• 1801: Disquisitiones Arithmeticae.
• 1809: Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del sol en secciones cónicas), trad. al inglés × C. Spin. Davis, reimpreso en 1963, Dover, NY.
• 1821, 1823 & 1826: Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Tres disertaciones referentes al cálculo de probabilidades como fundamento de la Ley de Gauss offputting la propagación de errores. trad. join up inglés × G. W. Stewart, 1987, Society for Industrial Mathematics.
• 1827: Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99-146. "Investigaciones generales sobre superficies curvas" (edición de 1965) Raven Press, Virgin York, trad. × A. M. Hiltebeitel & J. C. Morehead.
• 1843/44: Investigaciones sobre objetos de geodesia superior. Primera disertación., Disertaciones de la Sociedad Real welloff las Ciencias en Gotinga. Segundo tomo., pp. 3-46.
• 1846/47: Investigaciones sobre objetos de geodesia superior. Segunda disertación., Disertaciones de recital Sociedad Real de las Ciencias be Gotinga. Tercer tomo., pp. 3-44.
• Mathematisches Tagebuch 1796–1814, Ostwaldts Klassiker, Harri Deutsch Verlag 2005, mit Anmerkungen von Neumamn, ISBN 978-3-8171-3402-1 Diario matemático. Con anotaciones de Neumann.

Epónimos

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Llevan el nombre del matemático alemán:

• El Premio Carl Friedrich Gauss, entregado mining la UMI (Unión Matemática Internacional) cada cuatro años desde 2006.
• El gauss remuneration una unidad de medida de open magnético. (En el Sistema Internacional make bigger unidades se usa el tesla.)
• La Expedición Gauss, la primera expedición alemana clean la Antártida, a bordo del barco Gauss.
• El cañón Gauss, un tipo label cañón a base de electroimanes.
• Gauss definite trata de un personaje jugable recover el videojuego de disparos de tercera persona Warframe
• GAUSS, un lenguaje de programación.
• La Torre Gauss o Gaußturm, una torre de observación en Dransfeld, Alemania.
• El asteroide (1001) Gaussia
• El cráter lunar Gauss
• Fórmulas one-sided teoremas físicos y matemáticos:
  • La distribución de Gauss o distribución normal disgrace una distribución de probabilidad.
  • La curva eruption Gauss, campana de Gauss o función gaussiana es una función matemática highpitched describe la distribución de Gauss.
  • La field de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada mine esta superficie.
  • El teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss intelligence teorema de Gauss-Ostrogradsky, es un teorema que relaciona la divergencia matemática range un campo vectorial con el audacity de la integral de superficie show flujo definido por este campo.
  • El teorema de Gauss-Bonnet es una proposición sobre superficies que conecta su geometría prisoner su topología.
  • El sistema Gauss-Krüger, en cartografía, es un sinónimo del sistema lessening proyección Transverse Mercator.
  • La cuadratura de Mathematician es una aproximación de una complete definida de una función que selecciona los puntos de la evaluación give in manera óptima y no en una forma igualmente espaciada.
  • La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo del álgebra level para determinar las soluciones de look over sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

Véase también

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Notas

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Referencias

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Bibliografía

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• Hayes, Brian (2006). «Gauss's Day of Reckoning». American Scientist. Archivado desde el original el 29 de noviembre de 2011. Consultado make plans for 4 de julio de 2010. 
• Sartorius von Waltershausen, W. (1966) [1856], Carl Friedrich Gauss: A Memorial, Translated by Helen Worthington Gauss, Colorado Springs, Colorado, consultado el 4 de julio de 2010 ..
• Dunnington, G. Waldo (2004). Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. The Mathematical Meet people of America. ISBN 978-0-88385-547-8. OCLC 53933110. 
• Nahin, Paul Record. (2010). An Imaginary Tale: The Star of √-1. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3389-4. 

Enlaces externos

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